[예제 문제 2]
어느 냉각 시스템에 사용되는 **부피 $2.5 \text{m}^3$**의 특수 냉각유의 **무게($W$)가 $22.5 \text{kN}$**이다. 이 기름의 비중량, 밀도, 비중을 계산하라. (단, 중력가속도 $g = 9.81 \text{m/s}^2$로 가정한다.)
방법 1: (비중량 우선 계산)
가장 표준적인 유체역학 풀이 순서다.
- 비중량($\gamma$) 계산: 단위 부피당 무게를 먼저 구한다.$$\gamma = \frac{W}{V} = \frac{22.5 \text{kN}}{2.5 \text{m}^3} = 9.0 \text{kN/m}^3 = 9,000 \text{N/m}^3$$
- 밀도($\rho$) 계산: 비중량을 중력가속도로 나눈다.$$\rho = \frac{\gamma}{g} = \frac{9,000 \text{N/m}^3}{9.81 \text{m/s}^2} \approx 917.43 \text{kg/m}^3$$
- 비중($S$) 계산: 물의 밀도($1,000 \text{kg/m}^3$)와 비교한다.$$S = \frac{\rho}{\rho_w} = \frac{917.43}{1,000} \approx 0.917$$
방법 2: (질량 우선 계산)
물리적 정의($m = W/g$)를 먼저 활용하는 직관적인 방식이다.
- 질량($m$) 계산: 무게($N$)를 가속도($g$)로 나누어 순수 질량($kg$)을 먼저 뽑아낸다.$$m = \frac{W}{g} = \frac{22,500 \text{N}}{9.81 \text{m/s}^2} \approx 2,293.58 \text{kg}$$
- 밀도($\rho$) 계산: 구한 질량을 부피로 나눈다.$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{2,293.58 \text{kg}}{2.5 \text{m}^3} \approx 917.43 \text{kg/m}^3$$
- 비중량($\gamma$) 계산: 밀도에 다시 $g$를 곱하거나 무게/부피를 계산한다.$$\gamma = \rho \times g = 917.43 \times 9.81 = 9,000 \text{N/m}^3 = 9.0 \text{kN/m}^3$$
- 비중($S$) 계산:$$S = \frac{917.43}{1,000} \approx 0.917$$
- 왜 결과가 같은가? 결국 $F = ma$에서 파생된 $W = mg$를 어디서 적용하느냐의 차이일 뿐이다. 분자($W$)에서 미리 $g$를 떼어내어 $m$을 만드느냐, 아니면 통째로 $V$로 나눈 값($\gamma$)에서 나중에 $g$를 떼어내느냐의 차이이다.
- 부피($V$)의 중요성: 유체는 고체와 달리 모양이 변하므로 항상 **공간(부피)**을 먼저 측정한다. 따라서 $V$로 나누는 과정은 어떤 방식에서든 핵심 단계가 된다.
- 단위 주의: $\text{kN}$을 $\text{N}$으로($10^3$ 곱하기) 바꾸는 과정을 빼먹으면 밀도 값이 1,000배 틀려지므로 주의해야 한다.
[예제 문제 2]
어떤 정밀 기계의 냉각을 위해 **부피가 $0.5 \, \text{m}^3$**인 용기에 **비중 $S=1.26$**인 글리세린(Glycerin)이 가득 차 있다. 이 글리세린의 밀도, 비중량, 질량, 무게를 계산하라. (단, 중력가속도 $g=9.81 \, \text{m/s}^2$, $4^\circ C$ 물의 밀도 $\rho_w = 1,000 \, \text{kg/m}^3$로 가정한다.)
방법 1: (밀도 $\to$ 비중량 $\to$ 질량 $\to$ 무게)
단위 부피당 성질을 먼저 확립하고 전체 양을 구하는 표준적인 흐름이다.
- 밀도($\rho$) 계산: 비중의 정의($S = \rho / \rho_w$)를 이용한다.$$\rho = \rho_w \times S = 1,000 \times 1.26 = 1,260 \, \text{kg/m}^3$$
- 비중량($\gamma$) 계산: 밀도에 중력가속도를 곱한다.$$\gamma = \rho \times g = 1,260 \times 9.81 = 12,360.6 \, \text{N/m}^3$$
- 질량($m$) 계산: 밀도(단위 부피당 질량)에 전체 부피를 곱한다.$$m = \rho \times V = 1,260 \times 0.5 = 630 \, \text{kg}$$
- 무게($W$) 계산: 질량에 중력가속도를 곱한다.$$W = m \times g = 630 \times 9.81 = 6,180.3 \, \text{N}$$
방법 2: (비중량 $\to$ 무게 $\to$ 질량 $\to$ 밀도)
“비중은 결국 물보다 몇 배 무겁냐”는 직관을 이용해 전체 힘(무게)부터 구하는 방식이다.
- 비중량($\gamma$) 계산: 물의 비중량($\gamma_w = 9,810 \, \text{N/m}^3$)에 비중을 곱한다.$$\gamma = \gamma_w \times S = 9,810 \times 1.26 = 12,360.6 \, \text{N/m}^3$$
- 무게($W$) 계산: 비중량(단위 부피당 무게)에 부피를 곱해 전체 힘을 구한다.$$W = \gamma \times V = 12,360.6 \times 0.5 = 6,180.3 \, \text{N}$$
- 질량($m$) 계산: 무게를 중력가속도로 나누어 순수 질량을 뽑아낸다.$$m = \frac{W}{g} = \frac{6,180.3}{9.81} = 630 \, \text{kg}$$
- 밀도($\rho$) 계산: 전체 질량을 부피로 나눈다.$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{630}{0.5} = 1,260 \, \text{kg/m}^3$$
- 핵심:
- 방법 1은 유체의 **’단위 특성’**을 먼저 정의하고 전체 규모($V$)를 나중에 곱하는 방식이다. 학술적으로 유체의 상태를 먼저 파악할 때 유리하다.
- 방법 2는 **’전체 힘(무게)’**을 먼저 파악하는 공학적 실무 방식이다. 용기가 이 무게를 견딜 수 있는지(구조 설계) 등을 따질 때 더 직관적이다.
- $g$의 역할: $F=ma$의 원리에 의해 $W=mg$가 성립하므로, 어느 단계에서든 $g$를 곱하거나 나누면 질량과 무게 사이를 자유롭게 오갈 수 있다.
- 비중($S$)의 역할: 비중은 단위가 없는 ‘비율’이기 때문에, 우리가 물의 값($1,000$ 혹은 $9,810$)만 외워두면 어떤 유체든 그 즉시 실제 물리량으로 변환할 수 있는 계수 역할을 한다.
[예제 문제 3]
지름이 $10\,\text{m}$, 높이가 **$5\,\text{m}$**인 원통형 온수 탱크에 $4^\circ\text{C}$의 물이 가득 차 있다. 이 물을 가열하여 온도가 **$60^\circ\text{C}$**가 되었을 때, 탱크 밖으로 넘치는 물의 양($\text{m}^3$)은 얼마인가?
(단, $60^\circ\text{C}$ 물의 비중 $S_{60} = 0.983$이고, $4^\circ\text{C}$ 물의 비중량 $\gamma_4 = 9,810\,\text{N/m}^3$이며 탱크의 열팽창은 무시한다.)
참고: 물을 데운다고 해서 그 안에 들어있는 물 분자의 양(무게)이 변하지는 않지만, 분자 간격이 넓어져서 체적은 늘어나고 밀도(비중)는 작아진다.
방법 1: (전체 무게 기준)
“변하지 않는 전체 무게($W$)를 먼저 구하고, 바뀐 비중량으로 나눈다”는 논리다.
- 탱크의 초기 체적($V_4$) 계산:$$V_4 = \frac{\pi D^2}{4} \times h = \frac{\pi \times 10^2}{4} \times 5 \approx 392.70\,\text{m}^3$$
- 물의 전체 무게($W$) 계산:$$W = V_4 \times \gamma_4 = 392.70 \times 9,810 = 3,852,387\,\text{N} \approx 3,852.39\,\text{kN}$$
- $60^\circ\text{C}$에서의 체적($V_{60}$) 계산: 무게는 그대로인데 비중량($\gamma_{60} = S \times \gamma_4$)이 줄어들었으므로 체적은 커진다.$$V_{60} = \frac{W}{\gamma_{60}} = \frac{3,852,387}{0.983 \times 9,810} \approx \frac{3,852,387}{9,643.23} \approx 399.49\,\text{m}^3$$
- 넘치는 양 계산:$$\Delta V = V_{60} – V_4 = 399.49 – 392.70 = 6.79\,\text{m}^3$$
방법 2: (비중의 역수 관계 이용)
“무게가 같으면 체적은 비중(밀도)에 반비례한다”는 직관을 이용한 가장 빠른 방법이다.
- 탱크의 초기 체적($V_4$) 계산: 위와 동일하게 $392.70\,\text{m}^3$.
- 체적 변화 원리 적용: 무게가 일정할 때 $V_4 \times \rho_4 = V_{60} \times \rho_{60}$ 이 성립한다. 이를 비중($S$)으로 나타내면 다음과 같다.$$V_{60} = \frac{V_4}{S_{60}} \quad (\because 4^\circ\text{C} \text{ 물의 비중은 } 1.0 \text{이므로})$$
- $60^\circ\text{C}$에서의 체적 계산:$$V_{60} = \frac{392.70}{0.983} \approx 399.49\,\text{m}^3$$
- 넘치는 양 계산:$$\Delta V = 399.49 – 392.70 = 6.79\,\text{m}^3$$
- “비중은 결국 물보다 몇 배 무겁냐”이다. 그 개념을 뒤집으면 **”비중의 역수는 물보다 부피가 몇 배 더 큰가”**가 된다. 즉, 비중이 0.983으로 줄었다면 부피는 $1/0.983 \approx 1.0173$배로 늘어난다는 뜻다. 복잡한 무게 계산 없이 바로 부피를 구할 수 있다.
- 분자 부분의 $N$: 비중량의 분자는 $W(mg)$이므로 단위는 $\text{N}$(뉴턴)이 맞다. 따라서 $\text{N}$을 다시 비중량($\text{N/m}^3$)으로 나누면 자연스럽게 부피($\text{m}^3$)만 남게 된다.
- 물리적 핵심: 온도가 올라가면 분자들이 널널하게($\to$ 비체적 증가) 퍼지면서 같은 무게라도 더 큰 방($\to$ 체적 증가)이 필요하게 된다. 탱크는 크기가 정해져 있으니 감당 못 하는 만큼 밖으로 쏟아지는 것이다.